Minimo Comun Multiplo Y Maximo Comun Divisor De Polinomios último 2023

En matemáticas, el imperceptible popular múltiplo (o parejo trillado como m.c.m.) de dos o más números naturales es el pequeño múltiplo popular de todos ellos. Este percepción está enlazado con las fracciones de números naturales, sin embargo se puede rendir incluso para enteros negativos o números complejos.

Operación del imperceptible popular múltiplo (m.c.m.)

Partiendo de dos o más números y por investigación en factores primos, expresados como producto de factores primos, su imperceptible popular múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la máximo subsistencia, por antonomasia el mcm de 72 y 50 será

$displaystyle beginarrayr72&236&218&29&33&31&endarray$ $displaystyle 72=2^3cdot 3^2,$

$displaystyle beginarrayr50&225&55&51&endarray$ $displaystyle 50=2cdot 5^2,$

Tomando los factores con su máximo indicador, tenemos que:

$displaystyle operatorname mcm (72,50)=2^3cdot 3^2cdot 5^2=1800$

Conociendo el clave popular ejecutor de dos números, se puede tasar el imperceptible popular múltiplo de ellos, que será el producto de uno y otro partido entre su clave popular ejecutor.

$displaystyle operatorname mcm (a,b)=frac acdot boperatorname MCD (a,b)$

Propiedades básicas

1. Si a es un inconmovible, entonces [a, a] = |a|
2. Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, aria si b es múltiplo de a.
3. (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
4. [a, b] = [ab] si, aria si (a,b)= 1
5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] adonde m = mcm y d = mcd.​
6. [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 1​
7. [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
8. [a, b, c]|abc, adonde abc ≠ 0
9. [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)​

• Si el producto de dos números lo dividimos por su clave popular ejecutor referido cociente es el imperceptible popular múltiplo.

A y B que descompuestos en números primos será A=(p₁·p₂)·p₃·p₄ y B=(p₁·p₂)·p₅·p₆ adonde si m.c.d. es (p₁·p₂) y el producto de A·B=(p₁·p₂)·p₃·p₄·(p₁·p₂)·p₅·p₆ adonde vemos que (p₁·p₂) está trillado dos veces, posteriormente si dividimos ese invariable por (p₁·p₂) tendremos el invariable pequeño que contiene a A y B siendo su mcm

• El imperceptible popular múltiplo de dos números, adonde el pequeño divide al máximo, será el máximo. Es disfrazado ya que un múltiplo de uno y otro inferior al máximo sería impracticable ya que no sería múltiplo del máximo.
• El imperceptible popular múltiplo de dos números primos es el invariable de su multiplicación. Esto es disfrazado ya que su clave popular ejecutor es 1.
• El imperceptible popular múltiplo de dos números compuestos será parejo al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es vistoso según la dominio 1 de levante argumento.
• El clave popular ejecutor de varios números es un ejecutor del imperceptible popular múltiplo de tales números.​
• Sea mZ el cantera de los múltiplos del inconmovible m, nZ el del inconmovible n. Entonces el cantera nZ∩mZ está afiliado por los múltiplos comunes de m y n; en otra cantidad es el cantera [m,n]Z.​

Aplicaciones del imperceptible popular múltiplo (m.c.m)

Suma de fracciones

El mcm se puede explotar para unir o proyectar fracciones de insólito denominador, tomando el mcm de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el sucesivo antonomasia:

$displaystyle frac 16+frac 433$

Para aptitud representar la yuxtaposición, frontal se compromiso despabilarse el imperceptible popular múltiplo de los denominadores (6 y 33)

$displaystyle beginarrayl6&23&31&endarray$ $displaystyle 6=2cdot 3,$

$displaystyle beginarrayl33&311&111&endarray$ $displaystyle 33=3cdot 11,$

posteriormente el imperceptible popular múltiplo de 6 y 33 es:

$displaystyle operatorname mcm (6,33)=2cdot 3cdot 11=66$

que corresponde al guarismo 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, actualidad aria hay que atinar a cada decimal su decimal parecido, con denominador 66 y será alterno la yuxtaposición:

${displaystyle cfrac 16+frac 433quad =quad cfrac 16cdot cfrac cfrac 666cfrac 666;+;cfrac 433cdot cfrac cfrac 6633cfrac 6633quad =quad cfrac 1cdot cfrac 6666cdot cfrac 666;+;cfrac 4cdot cfrac 663333cdot cfrac 6633quad =quad {cfrac 1cdot cfrac 666cancel 6cdot cfrac 66cancel 6};+;{cfrac 4cdot cfrac 6633cancel 33cdot cfrac 66cancel 33}quad =}$

operando las fracciones, podemos representar la yuxtaposición:

$displaystyle cfrac 1cdot 1166+cfrac 4cdot 266quad =quad cfrac 1166+cfrac 866quad =quad cfrac 1966$

Expresiones algebraicas

El m.c.m. para dos recuerdos algebraicas factor algorítmico y de pequeño agrado que es divisible justamente por cada una de las recuerdos dadas. Esta relación es de yuxtaposición capacidad para las fracciones y ecuaciones.​

De esta lado el m.c.m. de monomios

$displaystyle 4a$

y

$displaystyle 6a^2$

es

$displaystyle 12a^2$

además para

$displaystyle 2x^2, 6x^3$

y

$displaystyle 9x^4$

es

$displaystyle 18x^4$

.

Algoritmo de algoritmo

Para más de dos números, un cálculo es el sucesivo:

1. Descomponer cada uno de los números en un producto de potencias de factores primos.Por antonomasia, la investigación factorial de 324 es 2²·3⁴.
2. De entre todos las potencias de factores primos, se eligen todos los existentes, y adentro de los comunes a todos los números, los de máximo subsistencia. (Es muy justo arreglar las factorizaciones de suerte tabular o matricial para economizar despistes al representar el deporte).
3. Multiplicar todos los factores elegidos.

Por antonomasia, calculando el mcm(324,16,7,5) La investigación de 324 es 2²·3⁴; la investigación de 16 es: 2⁴; la investigación de 7 es 7 y la investigación de 5 es 5.

$displaystyle beginbmatrix324=&2^2&3^4&&16=&2^4&&5=&&&5&7=&&&&7endbmatrix$

Por baza, obtenemos el mcm: 2⁴·3⁴·7·5 = 45360.

Generalización del percepción de m.c.m. y m.c.d.

El percepción de m.c.m. y de m.c.d. se puede alargar a las fracciones o números racionales positivos.​ Estrictamente hablando cualquier guarismo inductivo divide a otro inductivo y no existe un inductivo máximo o pequeño que todos. No obstante, la aforo aquende descrita tiene empeño en algunos problemas y está relacionada con la relación de anillos, ideales, señas de Bézout, teorema de Krull, etc.

En el acontecimiento de la aritmética clásica fundamental sería de tenacidad en el sucesivo antonomasia. Sean 3 corredores dando vueltas a un autódromo, si en cada paseo el frontal costal 1/3 de paseo al momento y 2/7 al tercero. ¿cuándo volverán a concordar en la portería los tres corredores?. También sería de tenacidad en problemas de ruedas dentadas, etc.

Sean dos fracciones

$displaystyle frac ab$

y

$displaystyle frac cd$

irreducibles

$displaystyle a=prod _ip_i^e_i(a),b=prod _ip_i^e_i(b),c=prod _ip_i^e_i(c),d=prod _ip_i^e_i(d)$

La investigación en factores primos de

$displaystyle a,b,c,d$

. Entonces

${displaystyle frac prod _ip_i^max(e_i(a),e_i(c))prod _ip_i^min(e_i(b),e_i(d))}$

es una decimal que es popular múltiplo de

$displaystyle frac ab$

y

$displaystyle frac cd$

y es el imperceptible por las propiedades del m.c.m. y m.c.d. de dos enteros no negativos ya que

$displaystyle prod _ip_i^max(e_i(a),e_i(c))$

es el m.c.m. de los numeradores y

$displaystyle prod _ip_i^min(e_i(b),e_i(d))$

es el m.c.d. de los denominadores de suerte que se puede zanjar que

$displaystyle operatorname mcm left(frac ab,frac cdright)=frac operatorname mcm (a,c)operatorname mcd (b,d).$

Análogamente o teniendo en cómputo que el producto de dos números es parejo al de su m.c.m. por su m.c.d. obtenemos:

$displaystyle operatorname mcd left(frac ab,frac cdright)=frac operatorname mcd (a,c)operatorname mcm (b,d).$

Las fórmulas anteriores son válidas para una copia finita de fracciones. Además el cociente del mcm entre cada decimal es un inconmovible y el cantera de los cocientes forman un sistema de primos entre sí. De parejo suerte, el cociente de cada decimal entre el mcd es inconmovible, los cocientes son primos entre sí​

De suerte más universal, percepción de m.c.m. tiene apesadumbrado en cualquier bullicio inconmovible. Mayor uso se da en el cantera de los enteros, polinomios en una posible, enteros gaussianos​

Véase incluso

• Decisivo popular ejecutor
• Guarismo primo
• Insignificante popular denominador
• Números naturales

Referencias

Enlaces externos

• Insignificante popular múltiplo en Enciclopedia extenso conceptual española

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