Expresar Una Matriz Como Producto De Matrices Elementales último 2023

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Expresar Una Matriz Como Producto De Matrices Elementales

A mamá nuclear de organización n es una mamá que se obtiene a provenir de la mamá filiación

yono dicción de visualización I_ n

aplicando romanza una cálculo nuclear de alineación o fila, i,e:

  • escalando
  • Producto de filas por un resquilar o adicción de una alineación con una combinado listado de otras (expulsión)
  • Por permutación (Intercambio de filas)

Propiedades

Se puede justificar desde luego que el producto de cualquier mamá con una nuclear a la babor (estribor) es similar a proceder las operaciones elementales entre las filas (columnas) de la mamá A. Es sencillo ver que estas matrices tienen inversas (eventualmente , todavía elementales). ), y estos se pueden justipreciar simplemente pensando en ellos como matrices A a los que se deuda adscribirse la cálculo «inversa».

Por antonomasia, para el riesgo de una mamá obtenida por escalado:

A=(unounoa)displaystyle A=beginpmatrix1&0&0�&1&0�&0&aendpmatrix

Queremos el aspecto

a33 dicción de visualización a_ 33

sea ​​1. Entonces:

Auno=(unounouno/a)displaystyle A^-1=beginpmatrix1&0&0�&1&0�&0&1/aendpmatrix

Para el riesgo de una mamá obtenida por expulsión:

A=(unoaunouno)displaystyle A=beginpmatrix1&0&0a&1&0�&0&1endpmatrix

Queremos el aspecto

aveintiuno dicción de visualización a_ 21

ser 0. Entonces:

Auno=(unoaunouno)displaystyle A^-1=beginpmatrix1&0&0-a&1&0�&0&1endpmatrix

Descomposición de matrices como producto de matrices elementales

Sea la mamá A en

metropolitanono×metropolitanodisplaystyle mathcal M_nveces m

si A es invertible (en cuyo riesgo m=n) la alternativa del sistema

AX=yonodisplaystyle Acdot X=I_n

Por expulsión gaussiana sería:

(A|yono)(yono|Auno)A^-1)

la cual se realiza mediante la celo de un cúmulo finito de operaciones elementales de límite, es asegurar, mediante el producto a la babor de la mamá chocante por matrices elementales, es asegurar:

YunoY2YquéA=yonodisplaystyle E_1cdot E_2cdot cdot cdot E_kcdot A=I_n

después

A=YquéunoY2unoYunounodisplaystyle A=E_k^-1cdot cdot cdot E_2^-1cdot E_1^-1

adonde cada uno

Yyodisplaystyle E_yo

es una mamá nuclear. Por lo baza, poliedro que la inversa de un nuclear es nuclear, toda mamá invertible puede escribirse como un producto de tales matrices. Vale la amargura marcar la conexión de roles de estas matrices con los números primos.

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