Expresar Una Matriz Como Producto De Matrices Elementales último 2023

A mamá nuclear de organización n es una mamá que se obtiene a provenir de la mamá filiación

$dicción de visualización I_ n$

aplicando romanza una cálculo nuclear de alineación o fila, i,e:

• escalando
• Producto de filas por un resquilar o adicción de una alineación con una combinado listado de otras (expulsión)
• Por permutación (Intercambio de filas)

Propiedades

Se puede justificar desde luego que el producto de cualquier mamá con una nuclear a la babor (estribor) es similar a proceder las operaciones elementales entre las filas (columnas) de la mamá A. Es sencillo ver que estas matrices tienen inversas (eventualmente , todavía elementales). ), y estos se pueden justipreciar simplemente pensando en ellos como matrices A a los que se deuda adscribirse la cálculo «inversa».

Por antonomasia, para el riesgo de una mamá obtenida por escalado:

$displaystyle A=beginpmatrix1&0&0�&1&0�&0&aendpmatrix$

Queremos el aspecto

$dicción de visualización a_ 33$

sea ​​1. Entonces:

$displaystyle A^-1=beginpmatrix1&0&0�&1&0�&0&1/aendpmatrix$

Para el riesgo de una mamá obtenida por expulsión:

$displaystyle A=beginpmatrix1&0&0a&1&0�&0&1endpmatrix$

Queremos el aspecto

$dicción de visualización a_ 21$

ser 0. Entonces:

$displaystyle A^-1=beginpmatrix1&0&0-a&1&0�&0&1endpmatrix$

Descomposición de matrices como producto de matrices elementales

Sea la mamá A en

$displaystyle mathcal M_nveces m$

si A es invertible (en cuyo riesgo m=n) la alternativa del sistema

$displaystyle Acdot X=I_n$

Por expulsión gaussiana sería:

$A^-1)$

la cual se realiza mediante la celo de un cúmulo finito de operaciones elementales de límite, es asegurar, mediante el producto a la babor de la mamá chocante por matrices elementales, es asegurar:

$displaystyle E_1cdot E_2cdot cdot cdot E_kcdot A=I_n$

después

$displaystyle A=E_k^-1cdot cdot cdot E_2^-1cdot E_1^-1$

adonde cada uno

$displaystyle E_yo$

es una mamá nuclear. Por lo baza, poliedro que la inversa de un nuclear es nuclear, toda mamá invertible puede escribirse como un producto de tales matrices. Vale la amargura marcar la conexión de roles de estas matrices con los números primos.

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