Como Se Expresa Algebraicamente El Cuadrado De Un Numero último 2023

Un trinomio cuadrado consumido en matemáticas, o un monograma cuadrado, es un monograma sereno que es el cuadrado de determinado otro; mencionado de otro manera, es un monograma cuya simiente cuadrada es un monograma indígena.

Un monograma es un cuadrado consumido si se puede mandar en una metáfora cuadrada. Por antonomasia, 9 es un monograma cuadrado consumido ya que puede ser agudo como 3 × 3, y se puede mandar del venidero manera:

32 = 9

Un monograma sereno empírico que no tiene divisores cuadrados (párrafo el 1) se denomina monograma abierto de cuadrados.

En álgebra, el cuadrado de un monograma n se expresa como n², y equivale a n × n. La cálculo algebraica de levantar al cuadrado un monograma n nos proporciona el dominio de un cuadrado geométrico cuyo costado mide n. Por esta amovible, tal cálculo se conoce como levantar al cuadrado.​

Un monograma indígena n desorbitado al cuadrado se puede linealizar por vendaval de la venidero estilo:

$displaystyle n^2=sum _i=1^n(2i-1)$

Así, por antonomasia:

$displaystyle 3^2=sum _i=1^3(2i-1)=1+3+5=9$

Con el mismo resultado que la multiplicación:

$displaystyle 3^2=3times 3=9$

Propiedades

La rótulo ideal para el n-ésimo monograma cuadrado es n². Esta estilo es parejo a la yuxtaposición de los n primeros números impares, demostrable por contemplación matemática, registrada en la venidero rótulo:

$displaystyle n^2=sum _k=1^n;(2k-1)$

$displaystyle e.g. 5^2=sum _k=1^5;(2k-1)=1+3+5+7+9=25$

Un cuadrado par se puede manifestar como la yuxtaposición de dos impares consecutivos. Pues si cumple la entorno junto a

$displaystyle P=4n^2$

y se plantea la ecuación:

$displaystyle P=(2n^2+1)+(2n^2-1)$

Un monograma primo de la fase

$displaystyle 4k+1$

se puede manifestar como la yuxtaposición de dos cuadrados:

$displaystyle 4k+1=m^2+n^2$

$displaystyle e.g. k=4rightarrow 17=16+1=4^2+1^2;quad k=9rightarrow 37=6^2+1^2=36+1$

Los babilonios usaban escenario de cuadrados para la multiplicación​ aplicando la rótulo:

$displaystyle ab=frac 14[(a+b)^2-(a-b)^2]$

$displaystyle e.g. 5times 2=frac 14[(5+2)^2-(5-2)^2]=frac 49-94=frac 404=10$

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier monograma sereno empírico puede ser agudo como la yuxtaposición de cuatro cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la fase 4^k(8m + 7). Un monograma empírico puede ser representado como una yuxtaposición de dos cuadrados ajustadamente si la
factorización en números primos no contiene potencias impares de la fase 4k + 3. Esta es una percepción del brete de Waring.

Según el último notación del monograma n cuyo cuadrado se quiere valorar se puede cerciorarse que mencionado cuadrado tendrá las siguientes propiedades:

1. Si el último notación es 0, su cuadrado acaba en 00 y los dígitos precedentes forman un cuadrado.
2. Si el último notación es 1 o 9, su cuadrado termina en 1 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4.
3. Si el último notación es 2 u 8, su cuadrado termina en 4 y los dígitos precedentes forman un monograma par.
4. Si el último notación es 3 o 7, su cuadrado termina en 9 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4.
5. Si el último notación es 4 o 6, su cuadrado termina en 6 y los dígitos precedentes forman un monograma impar.
6. Si el último notación es 5, su cuadrado termina en 25 y los dígitos precedentes forman un monograma par.
7. Por mano, nadie cuadrado consumido sereno acaba en 2, 3, 7 ni 8.

Demostración

Algunas consideraciones abreviatura a corresponder en cálculo son que: Cualquier monograma sereno puede reescribirse separando las unidades del sobrante de cifras de la venidero fase: $displaystyle n=10a+b, con a,bin mathbb Z$ $displaystyle e.g. n=4132=413times 10+2$ Cualquier monograma par puede representarse como el producto de 2 por otro monograma sereno (entregado que cálculo con al parágrafo un 2 en su observación factorial, siempre se puede manifestarse como medio ambiente popular): $displaystyle p=2k, con kin mathbb Z$ $displaystyle e.g. p=36=2times 18$ Cualquier monograma impar puede representarse como el sucesivo de un monograma par (al restarle una sección, quedará un monograma par, que al corresponder al parágrafo un 2 en su observación factorial, podrá a su vez sacarse como medio ambiente popular): $displaystyle q=2k+1, con kin mathbb Z$ $displaystyle e.g. q=37=2times 18+1$ El producto de cualquier monograma sereno por un monograma par será par (al informar con al parágrafo con un 2 en su observación factorial aportado por el medio ambiente par): $displaystyle pn=2kn=2(kn), con kin mathbb Z$ $displaystyle e.g. 16times 33=528,quad 34times 16=544$ El producto de dos números impares será impar (al no informar con nadie 2 en su observación factorial): $displaystyle i_1i_2=(2k_1+1)(2k_2+1)=4k_1k_2+2k_1+2k_2+1=2(2k_1k_2+k_1+k_2)+1, con k_1,k_2in mathbb Z$ $displaystyle e.g. 57times 13=741$ La yuxtaposición de un monograma par no cambia la paridad del monograma sereno chocante: $displaystyle n_p+p=2k_1+2k_2=2(k_1+k_2), con k_1,k_2in mathbb Z$ $displaystyle n_i+p=(2k_1+1)+2k_2=2(k_1+k_2)+1, con k_1,k_2in mathbb Z$ ç $displaystyle e.g. 12+304=316,quad 623+52=675$ La yuxtaposición de un monograma impar sí cambia la paridad del monograma sereno chocante: $displaystyle n_p+i=2k_1+2k_2+1=2(k_1+k_2)+1, con k_1,k_2in mathbb Z$ $displaystyle n_i+i=(2k_1+1)+(2k_2+1)=2(k_1+k_2+1), con k_1,k_2in mathbb Z$ $displaystyle e.g. 212+3=215,quad 23+17=40$ Teniendo en cálculo lo anteriormente destinado, se puede interpretación a culpar las propiedades enumeradas más hacia lo alto: Dado un sereno perfecto en 0 ( $displaystyle n=10a$ ), su cuadrado acaba en 00 y los dígitos precedentes forman un cuadrado: $displaystyle n^2=(10a)^2=100a^2$ $displaystyle e.g. a=3rightarrow 30^2=900$ Dado un sereno perfecto en 1 o 9 ( $displaystyle n_1=10a+1; n_2=10a+9$ ), su cuadrado termina en 1 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4: $displaystyle n_1^2=(10a+1)^2=100a^2+20a+1=10(10a^2+2a)+1=10(2(a(5a+1)))+1$ Si $displaystyle a(5a+1)$ fuese par, $displaystyle 2(a(5a+1))=2(2k)=4k$ , quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $displaystyle a$ es par, entonces $displaystyle 5a+1$ será impar, y al contrario. Por lo que el resultado siempre será un monograma par por congeniar de un producto por un monograma par. $displaystyle e.g. a=2rightarrow 21^2=441=(4times 22)times 10+1$ $displaystyle n_2^2=(10a+9)^2=100a^2+180a+81=10(10a^2+18a+8)+1=10(2(5a^2+9a+4))+1=10(2(a(5a+9)+4))+1$ De manera próximo al evento previo, si $displaystyle (5a^2+9a+4)$ exterior par, $displaystyle 2(5a^2+9a+4)=2(2k)=4k$ , quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $displaystyle a$ es par, entonces mano $displaystyle 5a^2$ como $displaystyle 9a$ serían pares por congeniar de naturaleza con un monograma par, y $displaystyle (5a^2+9a+4)$ sería la yuxtaposición de tres monograma pares, por lo mano su resultado sería par. Si $displaystyle a$ es impar, mano $displaystyle 5a^2$ como $displaystyle 9a$ serían impares por congeniar de naturaleza entre monograma impares, por lo que $displaystyle (5a^2+9a)$ sería la yuxtaposición de dos números impares, lo que sería un monograma par, al que se sumaría 4, otro monograma par que no cambiaría la paridad par de la yuxtaposición invariable. De manera que el resultado en ambas situaciones se obtendría el monograma par que confirma que se manejo de un múltiplo de 4. $displaystyle e.g. a=2rightarrow 29^2=841=(4times 21)times 10+1$ Dado un sereno perfecto en 2 u 8 ( $displaystyle n_1=10a+2; n_2=10a+8$ ), su cuadrado termina en 4 y los dígitos precedentes forman un monograma par: $displaystyle n_1^2=(10a+2)^2=100a^2+40a+4=10(10a^2+4a)+4=10(2(5a^2+2a))+4$ $displaystyle e.g. a=7rightarrow 72^2=5184=(2times 259)times 10+4$ $displaystyle n_2^2=(10a+8)^2=100a^2+160a+64=10(10a^2+16a+6)+4=10(2(5a^2+8a+3))+4$ $displaystyle e.g. a=7rightarrow 78^2=6084=(2times 304)times 10+4$ Dado un sereno perfecto en 3 o 7 ( $displaystyle n_1=10a+3; n_2=10a+7$ ), su cuadrado termina en 9 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4: $displaystyle n_1^2=(10a+3)^2=100a^2+60a+9=10(10a^2+6a)+9=10(2(5a^2+3a))+9$ De fase próximo a las vistas anteriormente, si $displaystyle a(5a^2+3a)$ fuese par, $displaystyle 2(5a^2+3)=2(2k)=4k$ , quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $displaystyle a$ es par, entonces $displaystyle 5a^2+3a$ será la yuxtaposición de dos números pares, que da un monograma par. Si $displaystyle a$ es un monograma impar, $displaystyle 5a^2+3a$ será la yuxtaposición de dos números impares, que da un monograma par. Por lo que el resultado horizonte siempre será un múltiplo de 4. $displaystyle a=5rightarrow 53^2=2809=(4times 70)times 10+9$ $displaystyle n_2^2=(10a+7)^2=100a^2+140a+49=10(10a^2+14a+4)+9=10(2(5a^2+7a+2))+9$ Igualmente, si $displaystyle a(5a^2+7a+2)$ fuese par, $displaystyle 2(5a^2+7a+2)=2(2k)=4k$ , quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $displaystyle a$ es par, entonces $displaystyle 5a^2+7a+3$ será la yuxtaposición de tres números pares, que da un monograma par. Si $displaystyle a$ es un monograma impar, $displaystyle 5a^2+7a$ será la yuxtaposición de dos números impares, que da un monograma par, y a saliente se sumaría otro monograma par que no cambiaría la paridad del resultado. Por lo que nuevamente se comprueba que al horizonte se obtendrá un múltiplo de 4. $displaystyle e.g. a=5rightarrow 57^2=3249=(4times 81)times 10+9$ Dado un sereno perfecto en 4 o 6 ( $displaystyle n_1=10a+4; n_2=10a+6$ ), su cuadrado termina en 6 y los dígitos precedentes forman un monograma impar: $displaystyle n_1^2=(10a+4)^2=100a^2+80a+16=10(10a^2+8a+1)+6=10(2(5a^2+4a)+1)+6$ $displaystyle e.g. a=4rightarrow 44^2=1936=(2times 81+1)times 10+6$ $displaystyle n_2^2=(10a+6)^2=100a^2+120a+36=10(10a^2+12a+3)+6=10(2(5a^2+6a+1)+1)+6$ $displaystyle e.g. a=4rightarrow 46^2=2116=(2times 105+1)times 10+6$ Dado un sereno perfecto en 5 ( $displaystyle n=10a+5$ ), su cuadrado termina en 25 y los dígitos precedentes forman un monograma par: $displaystyle n^2=(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100(a^2+a)+25=100(a(a+1))+25$ Al congeniar el medio ambiente $displaystyle a(a+1)$ del producto de un monograma y su sucesivo, siempre se tratará del producto de un monograma par por un monograma impar, cuyo resultado es otro monograma par. $displaystyle e.g. a=8rightarrow 85^2=7225=(8times 9)times 100+25$

Ejemplos

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

La riqueza de factores (divisores) de un monograma cuadrado consumido es siempre impar. O mencionado de otro manera, se cumple que para todo monograma indígena que no es cuadrado consumido, la riqueza de sus factores es un monograma par.

Todo monograma indígena se puede enojar en factores primos y sus correspondientes exponentes:

$displaystyle N=p_1^a.p_2^b.p_3^c…$

,

adonde N es un monograma indígena,

$displaystyle p_1,p_2,…$

son números primos y a,b,c… sus correspondientes exponentes. Dado que todos los capital divisores de N son una aguachirle de saliente producto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,…b y c=0,1,2,…c, la riqueza de divisores de N es:

n = (a+1).(b+1).(c+1)… adonde n es la riqueza de factores o divisores de cualquier monograma indígena.

Puesto que en un monograma cuadrado consumido los exponentes a, b, c, … son números pares, todos los factores de n serán impares y por mano el producto incluso es un monograma impar. Esto puede comprobarse revisando el Anexo:Tabla de divisores

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

² = 0 ((turno A000290 en OEIS))

Cuadrados siguientes y anteriores a otro

Puede calcularse un cuadrado a acelerar del previo o del previo cuadrado par/impar respecto de uno entregado.

• La período entre un cuadrado y el venidero, resulta de ampliar al cuadrado frontal, 2 veces el costado del venidero y restarle 1: Si para 4² = 16, para 5² = 4² + (2 * 5) – 1 = 16 + 10 – 1 = 25.

Ejemplos:

Otra modo de valorar la período es teniendo en cálculo la venidero finca:
La divergencia entre cada monograma cuadrado y el sucesivo(si se comienza con el 0) son todos los números impares, en estructuración subido:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

• La período entre un cuadrado y 2 más delante, resulta de ampliar al cuadrado frontal, 4 veces el (costado deseado -1): Si para 4² = 16, para 6² = 4² + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Ejemplos:

Ambos casos resultan de esfuerzo con números muy grandes, para resolver en bucles el venidero cuadrado o el venidero cuadrado de costado par/impar, especialmente en computación adonde las sumas son copioso parágrafo costosas que las multiplicaciones y las multiplicaciones por potencias de 2 pueden ser realizadas con instrucciones de emigración de bits. A su vez las multiplicaciones (‘2 * x’ o por ‘4 * x’ según el evento), en el interior de un rizo puede aferrrase como una yuxtaposición si se depositario el valentía anterior de yuxtaposición. Fíjese como en entreambos casos a la estribor del todo, el venidero cuadrado, para entreambos casos se resuelven con sumas.

La cálculo a la inversa es desde luego deducible, es sostener resolver el cuadrado previo a otro entregado.

• La período entre un cuadrado y el previo, resulta de proyectar al cuadrado frontal, 2 veces el costado flagrante y sumarle 1: Si para 6² = 36, para 5² = 6² – (2 * 6) + 1 = 36 – 12 + 1 = 25

• La período entre un cuadrado y 2 más antes, resulta de proyectar al cuadrado, 4 veces el (costado flagrante -1): Si para 6² = 36, para 4² = 6² – (4 * (6-1)) = 36 – 20 = 16

Cuadrados como sumas

El n-ésimo monograma cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (

$displaystyle n^2=2(n-1)^2-(n-2)^2+2$

). Por antonomasia,
2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 =
50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Es a menudo utensilio prepararse que el cuadrado de cualquier monograma puede ser representado como la yuxtaposición 1 + 1 + 2 + 2 +… + n − 1 + n − 1 + n. Por antonomasia, el cuadrado de 4 o 4² es parejo a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de asociar una afiliación y afiliación de gordura uno al grafo cuadrado de costado tres (como en un tabla de tres en divisa). Se puede asociar incluso tres lados y cuatro a la mordedura abad para conseguir un cuadrado. Esto puede ser incluso utensilio para resolver el cuadrado de un monograma inusitado de fase inmediata. Por antonomasia, el cuadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Es más liviana así:157²=150² + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. Es el primer sumando y los demás son más liviana de resolver,303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un monograma cuadrado puede ser aceptable incluso como la yuxtaposición de dos números triangulares consecutivos. La yuxtaposición de dos números cuadrados consecutivos es un monograma cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es adicionalmente un monograma octogonal centrado.

Números cuadrados pares e impares

El cuadrado de un monograma par siempre es par (de argumento es divisible por 4), ya que (2n)² = 4n².

El cuadrado de un monograma impar siempre es impar, ya que (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

De esto se sigue que la simiente cuadrada de un cuadrado consumido par siempre es par, y la simiente cuadrada de un cuadrado consumido impar siempre es impar. Este argumento se emplea copioso en las demostraciones (véase simiente cuadrada de 2).

Suma de los primeros n cuadrados

Para los primeros cinco cuadrados perfectos

$displaystyle sum _k=1^5;k^2=1+4+9+16+25=frac 5(5+1)(2times 5+1)6$

Generalizando para los primeros n cuadrados perfectos resulta la yuxtaposición

$displaystyle S_2=frac n(n+1)(2n+1)6$

​

Construcción de cuadrados perfectos

• El producto de dos pares consecutivos aumentado en 1 es cuadrado consumido

$displaystyle (2n)(2n+2)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$

.

Ejemplo: 52·54 + 1 = 2809, cuadrado de 53.​

• El producto de dos impares consecutivos más 1 es un cuadrado consumido.

$displaystyle (2n-1)(2n+1)+1=4n^2-1+1=4n^2$

Por antonomasia, 95·97 + 1 = 9216. En entreambos casos hallamos el cuadrado de la average aritmética de los factores.

• El producto de cuatro enteros consecutivos aumentado en 1 es un cuadrado consumido.
  $displaystyle (n-1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n^2+n-1)^2$

  

​ Por antonomasia 13·14·15·16 + 1 = 43681, cuadrado de 209.

• El producto de un múltiplo de un monograma por el múltiplo transconsecutivo del mismo más el cuadrado del productor es cuadrado consumido.

$displaystyle kn[(k+2)n]+n^2=n^2(k+1)^2$

Por antonomasia, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Luego 21·35 + 49 = 784, cuadrado de 28.​

Véase incluso

• Potenciación
• Raíz cuadrada
• Ecuación de instante contento
• Conjetura de Legendre
• Paradoja de Galileo
• Trinomio cuadrado consumido

Referencias

Bibliografía

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Weisstein, Eric W. «Square Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en británico). Wolfram Research. 

Enlaces externos

• Alpertron.com.ar Un applet JAVA que descompone un monograma indígena en la yuxtaposición de cuatro cuadrados.

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