Como Saber Si Un Subespacio Pertenece A Un Espacio Vectorial último 2023

En álgebra seguido, un subespacio vectorial es el subconjunto de un contenido vectorial, que satisface por sí mismo la precisión de contenido vectorial con las mismas operaciones que V el contenido vectorial chocante.

Definición de subespacio vectorial

Sea

$displaystyle V_^$

un contenido vectorial sobre

$displaystyle K_^$

y

$displaystyle Usubset V$

no autónomo,

$displaystyle U_^$

es un subespacio vectorial de

$displaystyle V_^$

si:

$displaystyle i);;forall u,vin U,u+vin U$

$displaystyle ii);forall uin U,forall kin K,kuin U$

Consecuencias

• Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por mano un contenido vectorial.

Demostración

i) permite el efectuación de la rancho conmutativa y asociativa. ii) permite el efectuación de la rancho asociativa, sujeto indeterminado y rancho distributiva respecto las dos operaciones. Luego para el sujeto indeterminado de la adicción naciente se puede lograr como $displaystyle 0cdot u$ , que $displaystyle u+0cdot u=(1+0)cdot u=u$ y lo mismo para el sujeto aciago de la adicción obtenido como $displaystyle (-1)cdot u$ , ya que $displaystyle u+(-1)u=(1-1)cdot u=0.$

Notaciones

Dado

$displaystyle F,$

un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el despotismo de argot

$displaystyle F+Fsubset F$

, e todavía

$displaystyle F+F=F$

es adecuado.

Demostración

Se quiere ver que $displaystyle forall win F+FLeftrightarrow win F$ : $displaystyle Rightarrow )win F+FRightarrow exists u,vin F:w=u+vRightarrow win F.$ $displaystyle Leftarrow )win FRightarrow w=w+vec 0Rightarrow win F+F$

Para ii) el despotismo de argot

$displaystyle lambda Fsubset F$

, e todavía

$displaystyle lambda F=F,;;forall lambda in K-�$

es adecuado.

Demostración

$displaystyle win FLeftrightarrow frac 1lambda win FLeftrightarrow lambda frac 1lambda win lambda FLeftrightarrow win lambda F$

Criterio de comprobación

Es rotatorio compendiar i) y ii) en una hábitat única:

Si V es un contenido vectorial, entonces un subconjunto no autónomo U de V es un subespacio vectorial si y solamente si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al anatomía accionista, el vector $displaystyle rv+sw$ es además un sujeto de U.

Ejemplos

Dado el contenido vectorial

$displaystyle mathbb R ^2$

, sus principios son del persona

$displaystyle (a,b)in mathbb R ^2$

.

• 

  $displaystyle vec 0,u$

  y

  $displaystyle lambda u$

  están alineados,

  $displaystyle forall uin mathbb R ^2$

  ,

  $displaystyle forall lambda in K.$

  

• 

  $displaystyle vec 0,u,v$

  y

  $displaystyle u+v$

  forman un paralelogramo si no están alineados,

  $displaystyle forall u,vin mathbb R ^2.$

  

• 

  Suma de 3 principios.

El subconjunto

$displaystyle U=(a,b):a+b=0$

.

es un subespacio vectorial.

Demostración

Por precisión de U los principios son de la estado $displaystyle x=(x_1,-x_1)$ . $displaystyle beginmatrixSuma&+:&mathbb R ^2times mathbb R ^2&longrightarrow &mathbb R ^2&&&(mathbf u ,mathbf v )&mapsto &(u_1,-u_1)+(v_1,-v_1)&=((u_1+v_1),-(u_1+v_1))endmatrix$ ${displaystyle beginmatrixProducto&cdot :&Ktimes V&longrightarrow &V&&&(a,mathbf u )&mapsto &acdot (u_1,-u_1)&=((acdot u_1),-(acdot u_1))endmatrix}$ como las operaciones están acertadamente definidas entonces U es en sí mismo un contenido vectorial, es opinar, satisface las condiciones de subespacio vectorial de $displaystyle mathbb R ^2$ .

El subconjunto

$displaystyle C=(a,b):b=a^2$

no es un subespacio vectorial.

Demostración

Nuevamente solamente es imperioso observar tres condiciones: la pertenencia del vector cero y la cierre de ambas operaciones. El vector cero (0, 0) sí es un sujeto de C tienda de comestibles que 0 = 0². Sin retención, ni la adicción ni el producto son cerrados: Los vectores (1, 1) y (2, 4) son principios de C, empero su adicción (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, tienda de comestibles que 5 no es exacto a 3². El vector (2, 4) es un sujeto de C, empero al multiplicarlo por el ascender 2 se obtiene (4, 8) que no es un sujeto de C tienda de comestibles que 8 no es exacto a 4².

Operaciones con subespacios

Sea

$displaystyle (V,+,K,*)$

un contenido vectorial;

$displaystyle (S,+,K,*)$

y

$displaystyle (W,+,K,*)$

subespacios vectoriales de

$displaystyle V$

, se definen las siguientes operaciones:

Unión

$displaystyle Scup W=leftmathbf v in Vcolon mathbf v in S vademécum mathbf v in Wright$

En ideal, la filtración de subespacios no es un subespacio.

Intersección

$displaystyle Scap W=leftmathbf v in Vcolon mathbf v in S texty mathbf v in Wright$

La encerrona de dos subespacios es un subespacio.

Suma

$displaystyle S+W=leftmathbf v in Vcolon mathbf v =(mathbf u_1 +mathbf u_2 )wedge mathbf u_1 in Swedge mathbf u_2 in Wright$

La adicción de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la encerrona entre S y W es el subespacio insustancial (es opinar, el vector cero), entonces a la adicción se la ascua «suma directa».​
Es opinar que si

$displaystyle Scap W=leftvec 0rightRightarrow Soplus W$

Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de estilo única como la adicción de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios

$displaystyle S$

y

$displaystyle W$

son suplementarios cuando verifican que su adicción directa es exacto al contenido vectorial

$displaystyle V$

:

$displaystyle Soplus W=;V;leftrightarrow ;begincasesS+W=;VScap W=leftlbrace overset rightarrow 0rightrbrace endcases$

Dimensiones de subespacios

La calificativo de Grassmann resuelve que la altura de la adicción de los subespacios

$displaystyle S$

y

$displaystyle W$

será exacto a la altura del subespacio

$displaystyle S$

más la altura del subespacio

$displaystyle W$

singular la altura de la encerrona de uno y otro, es opinar:

$displaystyle dim(S+W)=dim(S)+dim(W)-dim(Scap W)$

Por paradigma, siendo

$displaystyle dim(S)=3$

y

$displaystyle dim(W)=2$

y teniendo como encerrona un subespacio de altura 1.
Luego,

$displaystyle dim(S+W)=4$

.

En la adicción directa

En el albur peculiar de la adicción directa, como

$displaystyle Scap W=leftvec 0rightRightarrow dim(Scap W)=0$

.
La calificativo de Grassmann resulta:

$displaystyle dim(Soplus W)=dim(S)+dim(W)$

Entonces en el paradigma precursor, resultaría

$displaystyle dim(Soplus W)=5$

.

Véase además

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Base (álgebra)
• Combinación seguido
• Dependencia e huida seguido
• Espacio vectorial
• Producto ascender
• Producto vectorial
• Producto heterogéneo
• Sistema padre

Referencias

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