Como Saber Si Un Subespacio Pertenece A Un Espacio Vectorial último 2023

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Como Saber Si Un Subespacio Pertenece A Un Espacio Vectorial

En álgebra seguido, un subespacio vectorial es el subconjunto de un contenido vectorial, que satisface por sí mismo la precisión de contenido vectorial con las mismas operaciones que V el contenido vectorial chocante.

Definición de subespacio vectorial

Sea

Vdisplaystyle V_^

un contenido vectorial sobre

Kdisplaystyle K_^

y

UVdisplaystyle Usubset V

no autónomo,

Udisplaystyle U_^

es un subespacio vectorial de

Vdisplaystyle V_^

si:

i)u,vU,u+vUdisplaystyle i);;forall u,vin U,u+vin U

ii)uU,kK,kuUdisplaystyle ii);forall uin U,forall kin K,kuin U

Consecuencias

  • Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por mano un contenido vectorial.
Demostración
i) permite el efectuación de la rancho conmutativa y asociativa.

ii) permite el efectuación de la rancho asociativa, sujeto indeterminado y rancho distributiva respecto las dos operaciones.

Luego para el sujeto indeterminado de la adicción naciente se puede lograr como

udisplaystyle 0cdot u

, que

u+u=(1+)u=udisplaystyle u+0cdot u=(1+0)cdot u=u

y lo mismo para el sujeto aciago de la adicción obtenido como

(1)udisplaystyle (-1)cdot u

, ya que

u+(1)u=(11)u=0.displaystyle u+(-1)u=(1-1)cdot u=0.

Notaciones

Dado

Fdisplaystyle F,

un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el despotismo de argot

F+FFdisplaystyle F+Fsubset F

, e todavía

F+F=Fdisplaystyle F+F=F

es adecuado.

Demostración
Se quiere ver que

wF+FwFdisplaystyle forall win F+FLeftrightarrow win F

:

)wF+Fu,vF:w=u+vwF.displaystyle Rightarrow )win F+FRightarrow exists u,vin F:w=u+vRightarrow win F.

)wFw=w+wF+Fdisplaystyle Leftarrow )win FRightarrow w=w+vec 0Rightarrow win F+F

Para ii) el despotismo de argot

λFFdisplaystyle lambda Fsubset F

, e todavía

λF=F,λKdisplaystyle lambda F=F,;;forall lambda in K-�

es adecuado.

Demostración

wF1λwFλ1λwλFwλFdisplaystyle win FLeftrightarrow frac 1lambda win FLeftrightarrow lambda frac 1lambda win lambda FLeftrightarrow win lambda F

Criterio de comprobación

Es rotatorio compendiar i) y ii) en una hábitat única:

Si V es un contenido vectorial, entonces un subconjunto no autónomo U de V es un subespacio vectorial si y solamente si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al anatomía accionista, el vector

rv+swdisplaystyle rv+sw

es además un sujeto de U.

Ejemplos

Dado el contenido vectorial

R2displaystyle mathbb R ^2

, sus principios son del persona

(a,b)R2displaystyle (a,b)in mathbb R ^2

.

  • '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' y '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' están alineados, '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"'

    ,udisplaystyle vec 0,u

    y

    λudisplaystyle lambda u

    están alineados,

    uR2displaystyle forall uin mathbb R ^2

    ,

    λK.displaystyle forall lambda in K.

  • '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"' y '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"' forman un paralelogramo si no están alineados, '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"'

    ,u,vdisplaystyle vec 0,u,v

    y

    u+vdisplaystyle u+v

    forman un paralelogramo si no están alineados,

    u,vR2.displaystyle forall u,vin mathbb R ^2.

  • Suma de 3 elementos.

    Suma de 3 principios.

El subconjunto

U=(a,b):a+b=displaystyle U=(a,b):a+b=0

.

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por precisión de U los principios son de la estado

x=(x1,x1)displaystyle x=(x_1,-x_1)

.

Suma+:R2×R2R2(u,v)(u1,u1)+(v1,v1)=((u1+v1),(u1+v1))displaystyle beginmatrixSuma&+:&mathbb R ^2times mathbb R ^2&longrightarrow &mathbb R ^2&&&(mathbf u ,mathbf v )&mapsto &(u_1,-u_1)+(v_1,-v_1)&=((u_1+v_1),-(u_1+v_1))endmatrix

Producto:K×VV(a,u)a(u1,u1)=((au1),(au1)){displaystyle beginmatrixProducto&cdot :&Ktimes V&longrightarrow &V&&&(a,mathbf u )&mapsto &acdot (u_1,-u_1)&=((acdot u_1),-(acdot u_1))endmatrix}

como las operaciones están acertadamente definidas entonces U es en sí mismo un contenido vectorial, es opinar, satisface las condiciones de subespacio vectorial de

R2displaystyle mathbb R ^2

.

El subconjunto

C=(a,b):b=a2displaystyle C=(a,b):b=a^2

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente solamente es imperioso observar tres condiciones: la pertenencia del vector cero y la cierre de ambas operaciones.

El vector cero (0, 0) sí es un sujeto de C tienda de comestibles que 0 = 0².

Sin retención, ni la adicción ni el producto son cerrados:

  • Los vectores (1, 1) y (2, 4) son principios de C, empero su adicción (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, tienda de comestibles que 5 no es exacto a 3².
  • El vector (2, 4) es un sujeto de C, empero al multiplicarlo por el ascender 2 se obtiene (4, 8) que no es un sujeto de C tienda de comestibles que 8 no es exacto a 4².

Operaciones con subespacios

Sea

(V,+,K,)displaystyle (V,+,K,*)

un contenido vectorial;

(S,+,K,)displaystyle (S,+,K,*)

y

(W,+,K,)displaystyle (W,+,K,*)

subespacios vectoriales de

Vdisplaystyle V

, se definen las siguientes operaciones:

Unión

SW=vV:vS o vWdisplaystyle Scup W=leftmathbf v in Vcolon mathbf v in S vademécum mathbf v in Wright


En ideal, la filtración de subespacios no es un subespacio.

Intersección

SW=vV:vS y vWdisplaystyle Scap W=leftmathbf v in Vcolon mathbf v in S texty mathbf v in Wright


La encerrona de dos subespacios es un subespacio.

Suma

S+W=vV:v=(u1+u2)u1Su2Wdisplaystyle S+W=leftmathbf v in Vcolon mathbf v =(mathbf u_1 +mathbf u_2 )wedge mathbf u_1 in Swedge mathbf u_2 in Wright


La adicción de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la encerrona entre S y W es el subespacio insustancial (es opinar, el vector cero), entonces a la adicción se la ascua «suma directa».​
Es opinar que si

SW=SWdisplaystyle Scap W=leftvec 0rightRightarrow Soplus W


Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de estilo única como la adicción de un vector de S y otro de W.

Subespacios suplementarios

Se dice que los subespacios

Sdisplaystyle S

y

Wdisplaystyle W

son suplementarios cuando verifican que su adicción directa es exacto al contenido vectorial

Vdisplaystyle V

:

SW=V{S+W=VSW=displaystyle Soplus W=;V;leftrightarrow ;begincasesS+W=;VScap W=leftlbrace overset rightarrow 0rightrbrace endcases

Dimensiones de subespacios

La calificativo de Grassmann resuelve que la altura de la adicción de los subespacios

Sdisplaystyle S

y

Wdisplaystyle W

será exacto a la altura del subespacio

Sdisplaystyle S

más la altura del subespacio

Wdisplaystyle W

singular la altura de la encerrona de uno y otro, es opinar:

dim(S+W)=dim(S)+dim(W)dim(SW)displaystyle dim(S+W)=dim(S)+dim(W)-dim(Scap W)

Por paradigma, siendo

dim(S)=3displaystyle dim(S)=3

y

dim(W)=2displaystyle dim(W)=2

y teniendo como encerrona un subespacio de altura 1.
Luego,

dim(S+W)=4displaystyle dim(S+W)=4

.

En la adicción directa

En el albur peculiar de la adicción directa, como

SW=dim(SW)=displaystyle Scap W=leftvec 0rightRightarrow dim(Scap W)=0

.
La calificativo de Grassmann resulta:

dim(SW)=dim(S)+dim(W)displaystyle dim(Soplus W)=dim(S)+dim(W)

Entonces en el paradigma precursor, resultaría

dim(SW)=5displaystyle dim(Soplus W)=5

.

Véase además

  • Ver el portal sobre Matemática Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
  • Base (álgebra)
  • Combinación seguido
  • Dependencia e huida seguido
  • Espacio vectorial
  • Producto ascender
  • Producto vectorial
  • Producto heterogéneo
  • Sistema padre

Referencias

Control de autoridades
  • Proyectos Wikimedia
  • Wd Datos: Q728435
  • Wd Datos: Q728435


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DEMOSTRAR que es un SUBESPACIO VECTORIAL en #3 pasos (27a/113) | CURSO de ALGEBRA LINEAL

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Ing. Juan Ignacio Silva
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Fuente: es.wikipedia.org

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