Como Saber Si Un Conjunto De Vectores Es Linealmente Independiente último 2023

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Como Saber Si Un Conjunto De Vectores Es Linealmente Independiente

220px Vec indep

Vectores linealmente independientes en

R3\displaystyle \mathbb R ^3

(en el espacio tridimensional).

220px Vec dep

Vectores linealmente dependientes en

R2\displaystyle \mathbb R ^2

(en el plano).

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Definición

Dado un conjunto finito de vectores

v1,v2,,vn\displaystyle \\mathbf v _1,\mathbf v _2,\ldots ,\mathbf v _n\

, se dice que estos vectores son linealmente independientes si dada la ecuación

a1v1+a2v2++anvn=\displaystyle a_1\mathbf v _1+a_2\mathbf v _2+\cdots +a_n\mathbf v _n=\mathbf 0

esta se satisface únicamente cuando

 a1,a2,,an\displaystyle \ a_1,a_2,\cdots ,a_n

son todos cero. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo

\displaystyle \mathbf 0

. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores

 U\displaystyle \ U

de un espacio vectorial es linealmente independiente si

uU,uUu\displaystyle \forall u\in U,u\not \in \left\langle U-u\right\rangle

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

  1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
  2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo también lo es.
  3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.

Significado geométrico

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.

Tres vectores son independientes si y solo si, no están contenidos en el mismo plano vectorial. O sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores), en otras palabras este debe generar un volumen.

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial.
El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector.
El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene.
Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores.
Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano…).

Ejemplo

En el espacio tridimensional usual:

Vectores independientes.png
  • u y j son dependientes por tener la misma dirección.
  • u y v son independientes y definen el plano P.
  • u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
  • u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
  • Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k

Ejemplo del uso de la fórmula f:

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

u=(2),v=(13),w=(124)\displaystyle \vec u=\beginpmatrix2\\0\\0\endpmatrix\,,\quad \vec v=\beginpmatrix1\\3\\0\endpmatrix\,,\quad \vec w=\beginpmatrix1\\2\\4\endpmatrix

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

xu+yv+zw=x(2)+y(13)+z(124)=()\displaystyle x\vec u+y\vec v+z\vec w=x\beginpmatrix2\\0\\0\endpmatrix+y\beginpmatrix1\\3\\0\endpmatrix+z\beginpmatrix1\\2\\4\endpmatrix=\beginpmatrix0\\0\\0\endpmatrix

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

2x+y+z=3y+2z=4z=}{x=y=z=\displaystyle \left.\beginmatrix2x&+&y&+&z&=&0\\&&3y&+&2z&=&0\\&&&&4z&=&0\endmatrix\right\\Longleftrightarrow \left\\beginmatrixx=0\\y=0\\z=0\endmatrix\right.

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Método alternativo usando determinantes

Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero.

Dados los vectores:

u=(11),v=(32),\displaystyle \vec u=\beginpmatrix1\\1\endpmatrix\,,\quad \vec v=\beginpmatrix-3\\2\endpmatrix\,,\quad

La matriz formada por éstos es:

A=[1312].\displaystyle A=\beginbmatrix1&-3\\1&2\endbmatrix.\,

El determinante de esta matriz es:

det(A)=(12)((3)1)=50.\displaystyle \det(A)=(1\cdot 2)-((-3)\cdot 1)=5\neq 0.

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.

Ejemplo II

Sea V = Bn y consideremos los siguientes elementos en V:

e1=(1,,,,)e2=(,1,,,)en=(,,,,1).\displaystyle \beginmatrix\mathbf e _1&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf e _2&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf e _n&=&(0,0,0,\ldots ,1).\endmatrix

Entonces e1, e2,…, en son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.

Demostración

Supongamos que a1, a2,…, an son elementos de R tales que:

a1e1+a2e2++anen=\displaystyle a_1\mathbf e _1+a_2\mathbf e _2+\cdots +a_n\mathbf e _n=0\,

Sustituyendo e1, e2,…, en resulta:

a1(1,,...,)+a2(,1,...,)+...+an(,,...,1)\displaystyle a_1(1,0,…,0)+a_2(0,1,…,0)+…+a_n(0,0,…,1)\,

Multiplicando:

(a1,,...,)+(,a2,...,)+...+(,,...,an)\displaystyle (a_1,0,…,0)+(0,a_2,…,0)+…+(0,0,…,a_n)\,

Sumando coordenadas:

(a1++++,+a2+++,,+++an)\displaystyle (a_1+0+0+\ldots +0,0+a_2+0+\ldots +0,\ldots ,0+0+\ldots +a_n)\,

Por lo que se obtiene:

(a1,a2,...,an)\displaystyle (a_1,a_2,…,a_n)\,

Así que:

a1e1+a2e2++anen=(a1,a2,,an)\displaystyle a_1\mathbf e _1+a_2\mathbf e _2+\cdots +a_n\mathbf e _n=(a_1,a_2,\ldots ,a_n)\,

Además:

a1e1+a2e2++anen=\displaystyle a_1\mathbf e _1+a_2\mathbf e _2+\cdots +a_n\mathbf e _n=0\,

Pero 0 es un vector, entonces:

(a1,a2,...,an)=(,,...,)\displaystyle (a_1,a_2,…,a_n)=(0,0,…,0)\,

Por lo que ai = 0 para todo i en 1,…, n.

Entonces los vectores

e1,e2,,en\displaystyle e_1,e_2,\ldots ,e_n\,

son linealmente independientes

Ejemplo III

Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones et y e2t en V son linealmente independientes.

Demostración

Supongamos que a y b son dos números reales tales que:

aet + be2t = 0

Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (que es un número real diferente de cero, sea cual sea t) y restando obtenemos:

bet = −a

En otras palabras, la función bet debe ser independiente de t, lo cual ocurre únicamente cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.

Véase también

  • Combinación lineal
  • Sistema generador
  • Base (álgebra)
    • Base ortonormal
  • Dependencia funcional
Control de autoridades
  • Proyectos Wikimedia
  • Wd Datos: Q27670
  • Wd Datos: Q27670


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Vamos a determinar si los vectores (1,2,3) , (7,2,-5), (-11,2,19) son linealmente independientes o no, vamos a ver dos soluciones, una no tan corta que viene directamente de la definición y otra que es mas corta la cual es consecuencia del trabajo que haremos con la definición.

La definición de independencia lineal es que a*v_1+b*v_2+c*v_3=0 solamente cuando a=b=c=0, Si encuentro tres valores distintos de ceros (al menos uno) que la operación anterior de cero los vectores son linealmente dependiente.

Para ver si son dependiente busquemos otros valores de a, b y c que logren darnos cero, para ello construimos la combinación lineal de vectores y la igualamos al vector cero por definición. Haciendo esto obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incognitas

1*a +7*b-11*c=0
2*a+2*b+2c=0
3a-5*b+9*c=0

Resolviendo este sistema usando el método de Gauss-Jordan encontramos que el sistema tiene infinitas soluciones. a=-3c, b=2c,c=c para cualquier valor de c es solución del sistema, en particular si c=1, a=-3 y b=2 al reemplazar en el la combinación lineal tememos: -3(1,2,3)+2(7,2,-5)+1(-11,2,9)=0 y son dependientes.

La forma rápida consiste en calcular el determinante de la matriz contruida con los vectores que queremos calcular, si el determinante es cero es linealmente Dependiente, de lo contrario es linealmente independiente. Expandiendo el determinante resultante por cofactores obtenemos efectivamente el resultado que es cero y confirma la dependencia lineal de los vectores.

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Fuente: es.wikipedia.org

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