Como Hallar El Termino General De Una Progresion Aritmetica último 2023

En matemáticas, una gama aritmética es una relevo de números tales que la desajuste de cualquier par de términos sucesivos de la campo es fanático, sacralidad prodigalidad intimación «desajuste de la gama», «desajuste» o además «período».

Por paradigma, la relevo matemática 3, 5, 7, 9,… es una gama aritmética de desajuste fanático 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una gama aritmética de desajuste fanático −3.

Formulación

En una gama aritmética, si se toman dos términos consecutivos de algún de esta, la desajuste entre los dos es una fanático, denominada desajuste. Esto se puede manifestar como una reseña de recurrencia de la subsiguiente forma:

$displaystyle a_n+1-a_n=d$

.

Conociendo el primer final a₁ y la desajuste d, se puede justipreciar el enésimo final de la gama mediante quinta sucesiva en la reseña de recurrencia

$displaystyle a_1,,underbrace (a_1+d) _a_2,,(underbrace underbrace a_1+d _a_2+d _a_3),,cdots ,,,(underbrace underbrace a_1+(n-2)d _a_n-1+d _a_n)$

con lo que se obtiene una ceremonial para el final puro de una gama aritmética, escrita de forma compacta como:

(I)

$displaystyle a_n=a_1+(n-1)d,$

adonde d es un sigla empírico algún.

También se puede fechar el final puro de otra superficie. Para ello se consideran los términos a_m y a_n (m<n) de la gama preparatorio y se ponen en interpretación de a₁:

$displaystyle beginmatrixa_m=&a_1+(m-1)da_n=&a_1+(n-1)dendmatrix$

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, se obtiene:

(II)

$displaystyle a_n=a_m-(m-n)d,$

dicción más puro que (I), pues da los términos de la gama conociendo uno algún de ellos, y la desajuste.

Monotonía

Dependiendo de si la desajuste d en una gama aritmética es positiva, nula o falta, se tiene que:​​

• Si
  $displaystyle d>0$

  , la gama es monótona creciente. Cada final es máximo o idéntico que el preparatorio (

  $displaystyle a_n+1geq a_n$

  ). Como la gama 3, 6, 9, 12, 15, 18… (d=3).

• Si
  $displaystyle d<0$

  , la gama es monótona decreciente. Cada final es último o idéntico que el preparatorio (

  $displaystyle a_n+1leq a_n$

  ). Como la gama 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7… (d=-2).

• Si
  $displaystyle d=0$

  , la gama es fanático. Todos los términos son iguales (

  $displaystyle a_n+1=a_n$

  ). Como la gama 2, 2, 2, 2, 2… (d=0).

Definición recursiva

Una gama aritmética que es una relevo en que el primer final es b y la desajuste d de dos términos consecutivos es fanático se define por las dos condiciones siguientes:

${displaystyle a_n=leftbeginarrayllclsi&n=1&longrightarrow &bsi&n>1&longrightarrow &a_n-1+dendarrayright.$

es una ecuación recursiva de momento organización​

Suma

La anexión de los términos en un vírgula antecedente de una gama aritmética se conoce a veces como abanico aritmética. Existe una ceremonial para las series aritméticas. La anexión de los n primeros títulos de una relevo finita viene dada por la ceremonial:

$displaystyle sum _i=1^na_i=n(a_1+a_n) over 2,$

adonde

$displaystyle a_1$

es el primer final,

$displaystyle a_n$

es el último y

$displaystyle Sigma$

es la puntuación de sumatorio.

Por paradigma, considérese la anexión:

$displaystyle 2+5+8+11+14$

La anexión puede calcularse aprisa tomando el sigla de términos n de la gama (en oriente contingencia 5), multiplicando por el primer y último final de la gama (aquende 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2. Tomando la ceremonial, sería:

$displaystyle 2+5+8+11+14=frac 5(2+14)2=frac 5times 162=40.$

Esta ceremonial funciona para cualquier gama aritmética de números reales conociendo

$displaystyle a_1$

y

$displaystyle a_n$

. Por paradigma:

${displaystyle left(-frac 32right)+left(-frac 12right)+frac 12=frac 3left(-frac 32+frac 12right)2=-frac 32.}$

Obtención de la ceremonial

Sea una gama aritmética de final puro

$displaystyle a_n,$

y de desajuste d, la anexión de los n términos es:

$displaystyle sum _i=1^na_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+cdots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d),$

aplicando la ceremonial (II), cada final a₁, a₂, a₃, …, a_m de la gama se puede manifestar en términos del enésimo como

$displaystyle textstyle a_m=a_n-(n-m)d,$

. Así :

$displaystyle sum _i=1^na_i=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+cdots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n,$

Sumando apoyo a apoyo las dos igualdades anteriores, se anulan todos los términos que están multiplicados por d:

$displaystyle 2sum _i=1^na_i=n(a_1+a_n),$

de lo que se obtiene que

$displaystyle sum _i=1^na_i=nfrac (a_1+a_n)2,$

.

Términos

En cualquier gama aritmética de desajuste d la anexión del primer y último final es idéntico a la del momento y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente. Es proponer, la anexión de dos términos equidistantes de los extremos es fanático, siempre que (n–k)≥1.

$displaystyle a_1+a_n=a_1+k+a_n-k=2a_1+(n-1)d=mathrm cte ,$

Si la gama cálculo con un sigla impar de términos, el final nuclear a_c es hechizo que por el pueblo que ocupa en la gama equidista de los extremos a₁ y a_n de esta.

Representado de esta forma, es muy contento citar la ceremonial de la anexión de los n términos de la gama, anteriormente descrita. Para el contingencia en el que el sigla de términos es par, hay n/2 sumas contantes, con audacia (a₁ + a_n). Para el contingencia impar, hay (n-1)/2 sumas con audacia (a₁ + a_n) más el final nuclear, que está situado en la plaza

$displaystyle c=frac n+12,$

.

Sustituyendo c en la ceremonial (I) y operando un algo, el final asimismo queda representado en interpretación de (a₁ + a_n), como

$displaystyle a_c=frac 2a_1+(n-1)d2=frac a_1+a_n2,$

por lo que en categórico, hay n/2 sumas con audacia (a₁ + a_n) como en el contingencia par y la ceremonial queda validada para todo n.

Ejemplos notables

Hallar la anexión de los n primeros enteros positivos, corresponde a justipreciar la abanico aritmética de los n términos de la gama aritmética de desajuste d=1 y final antecedente a₁=1:

$displaystyle 1+2+cdots +n=frac n(n+1)2,$

que, para cada audacia de n, asimismo se conoce como sigla triangular.

Una hazañas muy conocida es la del hallazgo de esta ceremonial por Carl Friedrich Gauss cuando tenía diez abriles. Su guía, en la primera cátedra de aritmética, pidió a sus alumnos descubrir la anexión de los 100 primeros números y él calculó el resultado de contiguo: 5050.​

Producto

El producto de los términos de una gama aritmética finita cuyo final antecedente es a₁, desajuste d, y n fundamentos en categórico está juicioso por la dicción en superficie cerrada

${displaystyle prod _i=1^na_i=a_1a_2cdots a_n=dfrac a_1ddleft(frac a_1d+1right)dleft(frac a_1d+2right)cdots dleft(frac a_1d+n-1right)=d^nleft(frac a_1dright)^overline n=d^n{frac Gamma left(frac a_1d+nright)Gamma left(frac a_1dright)},}$

adonde

$displaystyle x^overline n$

denota el factorial pino y

$displaystyle Gamma$

denota la interpretación Gamma. (Nótese sin confiscación que la ceremonial no es válida cuando

$displaystyle a_1/d$

es un inalterable perjudicial o ausencia.)

Esto es una idealización del acto de que el producto de la gama

$displaystyle 1times 2times cdots times n$

es donado mediante el factorial

$displaystyle n!$

y de que el producto

$displaystyle mtimes (m+1)times (m+2)times cdots times (n-2)times (n-1)times n,!$

para enteros positivos

$displaystyle m$

y

$displaystyle n$

viene donado por

$displaystyle frac n!(m-1)!.$

Tomando la ceremonial de hacia lo alto, por paradigma, el producto de los términos de la gama aritmética dada por a_n = 3 + (n-1)5 hasta el 50-ésimo final es

${displaystyle P_50=5^50cdot frac Gamma left(frac 35+50right)Gamma left(frac 35right)approx 3.78438times 10^98.}$

Véase asimismo

• Progresión geométrica
• Sucesión matemática

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Arithmetic progression». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en anglosajón). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Arithmetic series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en anglosajón). Wolfram Research. 

Enlaces externos

• Ejercicios con progresiones aritméticas (ematematicas.net)
• Calculadoras de progresiones aritméticas (matesfacil.com)
• Resolver pasos de campo aritmética (Step by step)

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