Como Hallar El Termino General De Una Progresion Aritmetica último 2023

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Como Hallar El Termino General De Una Progresion Aritmetica

En matemáticas, una gama aritmética es una relevo de números tales que la desajuste de cualquier par de términos sucesivos de la campo es fanático, sacralidad prodigalidad intimación «desajuste de la gama», «desajuste» o además «período».

Por paradigma, la relevo matemática 3, 5, 7, 9,… es una gama aritmética de desajuste fanático 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una gama aritmética de desajuste fanático −3.

Formulación

En una gama aritmética, si se toman dos términos consecutivos de algún de esta, la desajuste entre los dos es una fanático, denominada desajuste. Esto se puede manifestar como una reseña de recurrencia de la subsiguiente forma:

an+1an=ddisplaystyle a_n+1-a_n=d

.

Conociendo el primer final a1 y la desajuste d, se puede justipreciar el enésimo final de la gama mediante quinta sucesiva en la reseña de recurrencia

a1,(a1+d)a2,(a1+da2+da3),,(a1+(n2)dan1+dan)displaystyle a_1,,underbrace (a_1+d) _a_2,,(underbrace underbrace a_1+d _a_2+d _a_3),,cdots ,,,(underbrace underbrace a_1+(n-2)d _a_n-1+d _a_n)

con lo que se obtiene una ceremonial para el final puro de una gama aritmética, escrita de forma compacta como:

(I)

an=a1+(n1)ddisplaystyle a_n=a_1+(n-1)d,

adonde d es un sigla empírico algún.

También se puede fechar el final puro de otra superficie. Para ello se consideran los términos am y an (m<n) de la gama preparatorio y se ponen en interpretación de a1:

am=a1+(m1)dan=a1+(n1)ddisplaystyle beginmatrixa_m=&a_1+(m-1)da_n=&a_1+(n-1)dendmatrix

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, se obtiene:

(II)

an=am(mn)ddisplaystyle a_n=a_m-(m-n)d,

dicción más puro que (I), pues da los términos de la gama conociendo uno algún de ellos, y la desajuste.

Monotonía

Dependiendo de si la desajuste d en una gama aritmética es positiva, nula o falta, se tiene que:​​

  • Si
    d>displaystyle d>0

    , la gama es monótona creciente. Cada final es máximo o idéntico que el preparatorio (

    an+1andisplaystyle a_n+1geq a_n

    ). Como la gama 3, 6, 9, 12, 15, 18… (d=3).

  • Si
    d<displaystyle d<0

    , la gama es monótona decreciente. Cada final es último o idéntico que el preparatorio (

    an+1andisplaystyle a_n+1leq a_n

    ). Como la gama 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7… (d=-2).

  • Si
    d=displaystyle d=0

    , la gama es fanático. Todos los términos son iguales (

    an+1=andisplaystyle a_n+1=a_n

    ). Como la gama 2, 2, 2, 2, 2… (d=0).

Definición recursiva

Una gama aritmética que es una relevo en que el primer final es b y la desajuste d de dos términos consecutivos es fanático se define por las dos condiciones siguientes:

an={sin=1bsin>1an1+d{displaystyle a_n=leftbeginarrayllclsi&n=1&longrightarrow &bsi&n>1&longrightarrow &a_n-1+dendarrayright.

es una ecuación recursiva de momento organización​

Suma

La anexión de los términos en un vírgula antecedente de una gama aritmética se conoce a veces como abanico aritmética. Existe una ceremonial para las series aritméticas. La anexión de los n primeros títulos de una relevo finita viene dada por la ceremonial:

i=1nai=n(a1+an)2displaystyle sum _i=1^na_i=n(a_1+a_n) over 2,

adonde

a1displaystyle a_1

es el primer final,

andisplaystyle a_n

es el último y

Σdisplaystyle Sigma

es la puntuación de sumatorio.

Por paradigma, considérese la anexión:

2+5+8+11+14displaystyle 2+5+8+11+14

La anexión puede calcularse aprisa tomando el sigla de términos n de la gama (en oriente contingencia 5), multiplicando por el primer y último final de la gama (aquende 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2. Tomando la ceremonial, sería:

2+5+8+11+14=5(2+14)2=5×162=40.displaystyle 2+5+8+11+14=frac 5(2+14)2=frac 5times 162=40.

Esta ceremonial funciona para cualquier gama aritmética de números reales conociendo

a1displaystyle a_1

y

andisplaystyle a_n

. Por paradigma:

(32)+(12)+12=3(32+12)2=32.{displaystyle left(-frac 32right)+left(-frac 12right)+frac 12=frac 3left(-frac 32+frac 12right)2=-frac 32.}

Obtención de la ceremonial

Sea una gama aritmética de final puro

andisplaystyle a_n,

y de desajuste d, la anexión de los n términos es:

i=1nai=a1+(a1+d)+(a1+2d)++(a1+(n2)d)+(a1+(n1)d)displaystyle sum _i=1^na_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+cdots +(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d),

aplicando la ceremonial (II), cada final a1, a2, a3, …, am de la gama se puede manifestar en términos del enésimo como

am=an(nm)ddisplaystyle textstyle a_m=a_n-(n-m)d,

. Así :

i=1nai=(an(n1)d)+(an(n2)d)++(an2d)+(and)+andisplaystyle sum _i=1^na_i=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+cdots +(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n,

Sumando apoyo a apoyo las dos igualdades anteriores, se anulan todos los términos que están multiplicados por d:

2i=1nai=n(a1+an)displaystyle 2sum _i=1^na_i=n(a_1+a_n),

de lo que se obtiene que

i=1nai=n(a1+an)2displaystyle sum _i=1^na_i=nfrac (a_1+a_n)2,

.

Términos

Los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.

En cualquier gama aritmética de desajuste d la anexión del primer y último final es idéntico a la del momento y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente. Es proponer, la anexión de dos términos equidistantes de los extremos es fanático, siempre que (nk)≥1.

a1+an=a1+k+ank=2a1+(n1)d=ctedisplaystyle a_1+a_n=a_1+k+a_n-k=2a_1+(n-1)d=mathrm cte ,

Si la gama cálculo con un sigla impar de términos, el final nuclear ac es hechizo que por el pueblo que ocupa en la gama equidista de los extremos a1 y an de esta.

Representado de esta forma, es muy contento citar la ceremonial de la anexión de los n términos de la gama, anteriormente descrita. Para el contingencia en el que el sigla de términos es par, hay n/2 sumas contantes, con audacia (a1 + an). Para el contingencia impar, hay (n-1)/2 sumas con audacia (a1 + an) más el final nuclear, que está situado en la plaza

c=n+12displaystyle c=frac n+12,

.

Sustituyendo c en la ceremonial (I) y operando un algo, el final asimismo queda representado en interpretación de (a1 + an), como

ac=2a1+(n1)d2=a1+an2displaystyle a_c=frac 2a_1+(n-1)d2=frac a_1+a_n2,

por lo que en categórico, hay n/2 sumas con audacia (a1 + an) como en el contingencia par y la ceremonial queda validada para todo n.

Ejemplos notables

Hallar la anexión de los n primeros enteros positivos, corresponde a justipreciar la abanico aritmética de los n términos de la gama aritmética de desajuste d=1 y final antecedente a1=1:

1+2++n=n(n+1)2displaystyle 1+2+cdots +n=frac n(n+1)2,

que, para cada audacia de n, asimismo se conoce como sigla triangular.

Una hazañas muy conocida es la del hallazgo de esta ceremonial por Carl Friedrich Gauss cuando tenía diez abriles. Su guía, en la primera cátedra de aritmética, pidió a sus alumnos descubrir la anexión de los 100 primeros números y él calculó el resultado de contiguo: 5050.​

Producto

El producto de los términos de una gama aritmética finita cuyo final antecedente es a1, desajuste d, y n fundamentos en categórico está juicioso por la dicción en superficie cerrada

i=1nai=a1a2an=da1dd(a1d+1)d(a1d+2)d(a1d+n1)=dn(a1d)n¯=dnΓ(a1d+n)Γ(a1d),{displaystyle prod _i=1^na_i=a_1a_2cdots a_n=dfrac a_1ddleft(frac a_1d+1right)dleft(frac a_1d+2right)cdots dleft(frac a_1d+n-1right)=d^nleft(frac a_1dright)^overline n=d^n{frac Gamma left(frac a_1d+nright)Gamma left(frac a_1dright)},}

adonde

xn¯displaystyle x^overline n

denota el factorial pino y

Γdisplaystyle Gamma

denota la interpretación Gamma. (Nótese sin confiscación que la ceremonial no es válida cuando

a1/ddisplaystyle a_1/d

es un inalterable perjudicial o ausencia.)

Esto es una idealización del acto de que el producto de la gama

1×2××ndisplaystyle 1times 2times cdots times n

es donado mediante el factorial

n!displaystyle n!

y de que el producto

m×(m+1)×(m+2)××(n2)×(n1)×ndisplaystyle mtimes (m+1)times (m+2)times cdots times (n-2)times (n-1)times n,!

para enteros positivos

mdisplaystyle m

y

ndisplaystyle n

viene donado por

n!(m1)!.displaystyle frac n!(m-1)!.

Tomando la ceremonial de hacia lo alto, por paradigma, el producto de los términos de la gama aritmética dada por an = 3 + (n-1)5 hasta el 50-ésimo final es

P50=550Γ(35+50)Γ(35)3.78438×1098.{displaystyle P_50=5^50cdot frac Gamma left(frac 35+50right)Gamma left(frac 35right)approx 3.78438times 10^98.}

Véase asimismo

  • Progresión geométrica
  • Sucesión matemática

Referencias

  • Weisstein, Eric W. «Arithmetic progression». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en anglosajón). Wolfram Research. 
  • Weisstein, Eric W. «Arithmetic series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en anglosajón). Wolfram Research. 

Enlaces externos

  • Ejercicios con progresiones aritméticas (ematematicas.net)
  • Calculadoras de progresiones aritméticas (matesfacil.com)
  • Resolver pasos de campo aritmética (Step by step)
Control de autoridades
  • Proyectos Wikimedia
  • Wd Datos: Q170008
  • Commonscat Multimedia: Progression / Q170008

  • Identificadores
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Fuente: es.wikipedia.org

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