Como Calcular La Varianza De Una Variable Aleatoria Discreta último 2023

En tesis de probabilidad, la varianza o variancia (que suele representarse como

$displaystyle sigma ^2$

) de una alternativo aleatoria es una metro de propagación definida como la afán del cuadrado de la desproporción de inmortalidad alternativo respecto a su average.
Su sección de metro corresponde al cuadrado de la sección de metro de la alternativo: por antonomasia, si la alternativo mide una época en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La varianza tiene como agallas exiguo 0. La desproporción habitual (núcleo cuadrada positiva de la varianza) es una metro de propagación disyuntiva, expresada en las mismas unidades que los datos de la alternativo impresión de exploración.

Hay que hipotecarse en baremo que la varianza puede estar muy influida por los títulos atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de propagación más robustas.

El límite varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un noticia publicado en enero de 1919 con el leyenda The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.​

A continuación se hará un ojeada de las fórmulas, hay que hipotecarse en baremo que la inscripción de la varianza para una plaza (σ²) difiere de la inscripción de la varianza para una acuse (s²), Pero de antemano de ver la inscripción de la varianza, debemos asegurar que la varianza en estadística es muy sustancioso. Ya que aunque se proxenetismo de una metro sencilla, puede aportar mucha consultorio sobre una alternativo en patente.

Epíteto para peritar la varianza

La sección de metro de la varianza será siempre la sección de metro homólogo a los datos sin embargo elevada al cuadrado. La varianza siempre es máximo o idéntico que mínimo. Al surgir los despojos al cuadrado es matemáticamente difícil que la varianza salga ineptitud. Y de esa fase no puede ser último que mínimo.

Sea

$displaystyle X$

una alternativo aleatoria con average

$displaystyle mu =operatorname E (X)$

, se define la varianza de la alternativo aleatoria

$displaystyle X$

, denotada por

$displaystyle operatorname Var (X)$

,

$displaystyle sigma _X^2$

o simplemente

$displaystyle sigma ^2$

como

$displaystyle operatorname Var (X)=operatorname E [(X-mu )^2]$

Desarrollando la aclaración previo, se obtiene la posterior aclaración disyuntiva (y analógico):

$displaystyle beginalignedoperatorname Var (X)&=operatorname E [(X-mu )^2]&=operatorname E [(X^2-2Xmu +mu ^2)]&=operatorname E [X^2]-2mu operatorname E [X]+mu ^2&=operatorname E [X^2]-2mu ^2+mu ^2&=operatorname E [X^2]-mu ^2&=operatorname E [X^2]-operatorname E ^2[X]endaligned$

Si una despacho no tiene afán, como ocurre con la de Cauchy, siquiera tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo afán, carecen de varianza. Un antonomasia de ellas es la de Pareto cuando su equipo

$displaystyle k$

satisface

$displaystyle 1<kleq 2$

.

Caso acostumbrado

Si la alternativo aleatoria

$displaystyle X$

es continua con proceder de densidad

$displaystyle f(x)$

entonces

$displaystyle operatorname Var (X)=int _R_X(x-mu )^2f(x)dx$

adonde

$displaystyle mu =operatorname E [X]=int _R_Xxf(x)dx$

y las integrales están definidas sobre el abecé de la alternativo aleatoria

$displaystyle X$

, es asegurar,

$displaystyle R_X$

.

Caso discreto

Si la alternativo aleatoria

$displaystyle X$

es discreta con proceder de probabilidad

$displaystyle operatorname P [X=x]$

entonces

$displaystyle operatorname Var (X)=sum _xin R_X(x-mu )^2operatorname P [X=x]$

adonde

$displaystyle mu =operatorname E [X]=sum _xin R_Xxoperatorname P [X=x]$

Propiedades

Sean

$displaystyle X$

y

$displaystyle Y$

dos variables aleatorias con varianza finita y

$displaystyle ain mathbb R$

1. 
   $displaystyle operatorname Var (X)geq 0$

   

2. 
   $displaystyle operatorname Var (a)=0$

   

3. 
   $displaystyle operatorname Var (aX)=a^2operatorname Var (X)$

   

4. 
   $displaystyle operatorname Var (X+Y)=operatorname Var (X)+operatorname Var (Y)+2operatorname Cov (X,Y)$

   , adonde

   $displaystyle operatorname Cov (X,Y)$

   denota la covarianza de

   $displaystyle X$

   e

   $displaystyle Y$

   

5. 
   $displaystyle operatorname Var (X+Y)=operatorname Var (X)+operatorname Var (Y)$

   si

   $displaystyle X$

   y

   $displaystyle Y$

   son variables aleatorias independientes.

6. 
   $X))+operatorname Var (operatorname E (Y$

   algoritmo de la Varianza por Pitágoras, dónde

   $X$

   es la alternativo aleatoria condicional

   $displaystyle Y$

   poliedro

   $displaystyle X$

   .

Ejemplos

Al tirar una efectivo podríamos conseguir Cara o Escudo.

Vamos a darles los títulos Cara = 0 y Escudo = 1 y tenemos una alternativo aleatoria «X»:

Usando cifra matemática:

X = 0, 1

Nota: ¡Podríamos nominar Cara = 100 y Escudo = 150 u otros títulos si queremos! Es nuestra disyuntiva.
Entonces:

• Tenemos un test (como tirar una efectivo)
• Damos títulos a cada azar.
• El atarazana de títulos forman la Variable Aleatoria

Distribución exponencial

Si una alternativo aleatoria continua

$displaystyle X$

tiene una despacho exponencial con parámetro

$displaystyle lambda$

entonces su proceder de densidad está dada por

$displaystyle f_X(x)=lambda e^-lambda x$

para

$displaystyle xgeq 0$

.

No es complicado ver que la average de

$displaystyle X$

es

$displaystyle operatorname E [X]=1/lambda$

, por lo que para resolver su varianza calculamos

$displaystyle beginalignedoperatorname Var (X)&=int _0^infty left(x-frac 1lambda right)^2lambda e^-lambda xdxendaligned$

Después de integrar se puede consumir que

$displaystyle operatorname Var (X)=frac 1lambda ^2$

Dado terminado

Un poliedro de seis caras puede representarse como una alternativo aleatoria discreta que toma, títulos del 1 al 6 con probabilidad idéntico a ¹/₆. El agallas esperado es (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Por lo mano, su varianza es:

$displaystyle sum _i=1^6tfrac 16(i-3,5)^2=tfrac 16left((-2,5)^2+(-1,5)^2+(-0,5)^2+0,5^2+1,5^2+2,5^2right)=tfrac 16cdot 17,50=tfrac 3512approx 2,92,.$

Varianza muestral

En muchas situaciones es conveniente respetar la varianza poblacional a provenir de una acuse. Si se toma una acuse con reclutamiento

$displaystyle (x_1,x_2dots ,x_n)$

de

$displaystyle n$

títulos de ella, de entre todos los estimadores bienes de la varianza de la plaza de desaparición, existen dos de uso céfiro

El delantero de ellos

$displaystyle s_n^2=frac 1nsum _i=1^nleft(x_i-bar xright)^2$

que puede ser abonado como

$displaystyle s_n^2=frac 1nsum _i=1^nx_i^2-bar x^2$

pues

${displaystyle {beginaligneds_n^2&=frac 1nsum _i=1^nleft(x_i-overline xright)^2&=frac 1nsum _i=1^nleft(x_i^2-2x_ioverline x+overline x^2right)&=frac 1nsum _i=1^nx_i^2-frac 2overline xnsum _i=1^nx_i+overline x^2frac 1nsum _i=1^n1&=frac 1nsum _i=1^nx_i^2-2overline x^2+overline x^2&=frac 1nsum _i=1^nx_i^2-overline x^2endaligned}}$

y el periquete de ellos es

$displaystyle s^2=frac 1n-1sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)^2$

que puede ser abonado como

${displaystyle s^2=frac sum _i=1^nx_i^2-noverline x^2n-1}$

pues

${displaystyle {beginaligneds^2&=frac 1n-1sum _i=1^nleft(x_i-overline xright)^2&=frac 1n-1sum _i=1^nleft(x_i^2-2x_ioverline x+overline x^2right)&=frac 1n-1sum _i=1^nx_i^2-frac 2overline xn-1sum _i=1^nx_i+frac overline x^2n-1sum _i=1^n1&=frac 1n-1sum _i=1^nx_i^2-frac 2overline xnn-1frac 1nsum _i=1^nx_i+frac overline x^2nn-1&=frac 1n-1sum _i=1^nx_i^2-frac 2overline x^2nn-1+frac overline x^2nn-1&=frac 1n-1sum _i=1^nx_i^2-frac overline x^2nn-1&=frac sum _i=1^nx_i^2-noverline x^2n-1endaligned}}$

A uno y otro se los denomina varianza muestral, difieren sutilmente y, para títulos grandes de

$displaystyle n$

, la disconformidad es irrelevante. El delantero traslada sin rodeos la varianza de la acuse al de la plaza y el periquete es un estimador insesgado de la varianza poblacional pues

$displaystyle beginalignedoperatorname E [s^2]&=operatorname E left[frac 1n-1sum _i=1^nx_i^2-frac nn-1overline x^2right]&=frac 1n-1left(sum _i=1^noperatorname E [x_i^2]-noperatorname E [bar x^2]right)&=frac 1n-1left(noperatorname E [x_1^2]-noperatorname E [overline x^2]right)&=frac nn-1left(operatorname Var (x_1)+operatorname E [x_1]^2-operatorname Var (overline x)-operatorname E [overline x]^2right)&=frac nn-1left(operatorname Var (x_1)+mu ^2-frac 1noperatorname Var (x_1)-mu ^2right)&=frac nn-1left(frac n-1n~operatorname Var (x_1)right)&=operatorname Var (x_1)&=sigma ^2endaligned$

mientras tanto que

$displaystyle E[s_n^2]=frac n-1nsigma ^2$

Propiedades de la varianza muestral

Como consecuencia de la vínculo

$displaystyle operatorname E (s^2)=sigma ^2$

,

$displaystyle s^2$

es un estadístico insesgado de

$displaystyle sigma ^2$

. Además, si se cumplen las condiciones necesarias para la ley de los grandes números, s² es un estimador consistente de

$displaystyle sigma ^2$

.

Más aún, cuando las muestras siguen una despacho corriente, por el teorema de Cochran,

$displaystyle s^2$

tiene la despacho chi-cuadrado:

$displaystyle nfrac s^2sigma ^2sim chi _n-1^2.$

Interpretaciones de la varianza muestral

Dejamos tres fórmulas equivalentes para el algoritmo de la varianza muestral

$displaystyle s_n$

$displaystyle s_n^2=frac 1nsum _i=1^nleft(y_i-overline yright)^2=left(frac 1nsum _i=1^ny_i^2right)-overline y^2=frac 1n^2sum _i<jleft(y_i-y_jright)^2$

Esta última vínculo tiene empeño para ejecutar los estimadores

$displaystyle s^2$

y

$displaystyle s_n^2$

, pues si se quiere estimar la desproporción de unos datos o sus diferencias, se puede elegir por peritar el average de los cuadrados de las diferencias de cada par de datos:

$displaystyle 2s_n^2=frac sum _left(ileqslant n,jleqslant nright)left(y_i-y_jright)^2n^2$

. Nótese que el sigla de sumandos es

$displaystyle n^2$

.

O se puede justipreciar el average de los cuadrados de las diferencias de cada par de datos sin hipotecarse en baremo cada cantidad consigo mismo, hogaño el sigla de sumandos es

$displaystyle nleft(n-1right)$

.

$displaystyle 2s^2=frac sum _ineq jleft(y_i-y_jright)^2nleft(n-1right)$

Algunas aplicaciones de la varianza

Las aplicaciones estadísticas del ensimismamiento de la varianza son incontables. Las siguientes son aria algunas de las principales:

• Los estimadores eficientes. Son aquellos cuya afán es el acreditado agallas del parámetro y, por otra parte, tienen una mínima varianza. De oriente manera, hacemos lo más achaparrado rotatorio el contingencia de que lo que extraemos de una acuse se distinto demasiado del acreditado agallas del parámetro.
• Los estimadores consistentes. Son aquellos que, a metro que crece el comba de la acuse, tienden a hipotecarse una varianza de mínimo. Por lo mano, con muestras grandes, la dignidad tiende a fallar muy algo del acreditado agallas.
• En la despacho corriente, la varianza (su núcleo cuadrada, la desproporción típica) es uno de los parámetros. La campana de Gauss tiende a ser más inscripción y pequeña a metro que la varianza disminuye.
• En modelos de regresión, hablamos de homocedasticidad cuando la varianza del desliz es obstinado a lo hombretón de sus observaciones. Por antonomasia, en una regresión abobado, vemos una cúmulo de puntos en la que la propagación de los puntos rodeando de la rasgo o arco estimada se mantiene obstinado.
• El descomposición de la varianza (ANOVA) permite coincidir diferentes grupos y ver los factores que influyen en ellos.
• La mudanza de Chebyshev nos permite cercar en qué metro es posible que una alternativo aleatoria se separe de su afán matemática en medición a su desproporción típica (núcleo cuadrada de la varianza).

Conclusión

En el descomposición de varianzas se estudian las diferencias significativas entre dos o más medias de una acuse. Este descomposición se conoce comúnmente como ANOVA y nos permite convenir todavía si esas medias provienen de una misma plaza (puede ser el sigla rotundo de empleados de una dependencia), o si las medias de dos poblaciones son iguales.

Por otro costado, la varianza al idéntico que la desproporción habitual son muy sensibles a los títulos atípicos, estos son los títulos que se alejan exuberante de la average o que son muy distintos a esta.

Para que estas medidas no se vean tan afectadas, estos títulos atípicos pueden obviarse a la hora de desempeñarse los descomposición e además los cálculos. También pueden emplearse otras medidas de propagación que son más utillaje en estos casos.

En el albur de averiguar el contingencia de una inversión, se tienen en baremo dos aspectos importantes, uno es el explotación homosexual y otro el esperado aprobación a la inversión realizada. Como ya se mencionó, se puede aprovechar la varianza para averiguar oriente contingencia.

Véase todavía

• Desviación típica o desproporción habitual
• Esperanza matemática o agallas esperado
• Covarianza
• Análisis de varianza

Referencias

Enlaces externos

• [1] Simulación de la varianza de una alternativo discreta con R (jerigonza de programación)
• [www.solin.16mb.com/estadistica_js/MediayDesviacion.htm] Un triángulo rectángulo.

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